Les formules mathématiques ci-dessous sont des formules simplifiées, destinées à donner un aperçu de l'imageur gravitationnel. Le sujet d'observation est supposé être à une distance importante par rapport à la lentille gravitationnelle utilisée. La résolution est donnée pour le point image central et se dégrade lorsqu'on s'éloigne de celui-ci.
rsel est la distance entre le centre de la couronne et le centre de la découpe de la couronne, exprimé en mètres.
df est la distance focale exprimée en années lumières.
rea est la résolution du point image centrale, lorsque le diamètre des cellules du capteur = lc, rea est exprimée en secondes d'arc pour lc en millimètres.
l
est la longueur d'onde moyenne à capter, exprimé en micromètres.lc est la largeur de la découpe, exprimé en millimètres et doit être supérieur à l .
dsc est la distance entre le sélecteur et le capteur exprimé en kilomètres.
h
est le rendement global du capteur et est compris entre 0 et 1.ms est la masse de l'étoile, exprimé en masses solaires.
ma est la magnitude apparente de l'objet.
of est la distance minimale entre le centre de l'étoile et le passage des rayons lumineux en provenance de l'objet qui formeront le point image, exprimé en kilomètres.
sf est la surface de capture au niveau de l'étoile exprimé en kilomètres carrés, de la lumière en provenance de l'objet, qui formera le point image.
tp est le temps de pause en secondes pour un nombre moyen de dix photons captés en provenance du sujet, lorsque celui-ci est ponctuel et parfaitement aligné sur l'axe optique (point image central) et augmente rapidement lorsque le sujet est décentré.
ch est le champ d'observation maximal exprimé en seconde d'arc.
rc est le rayon ou la demie diagonale du capteur exprimé en mètres.
dt est la distance exprimée en Unités Astronomiques que doit parcourir depuis la terre l'imageur à lentille gravitationnelle dans le cas où on utilise une étoile autre que le soleil comme lentille gravitationnelle.
aeo est l'angle exprimé en seconde d'arc que fait l'objet à observer avec l'étoile qui sert de lentille gravitationnelle depuis la terre, lorsque l'étoile n'est pas le soleil.
rea = 3,2·10-4· df -0,5· ms-0,5·lc / rsel
of = 7,4·106· df 0,5· ms0,5
sf = 2p · of·10-6· lc
ch = 3,2·10-4· rc· rsel-1· df -0,5· ms-0,5
dsc = 9,5·109· df· rsel / of
dt = 0,31· aeo· df
tp = ( 1,9·1016·2,5-ma· sf ·l · h)-1
of est la distance entre le centre de l'étoile et l'endroit le plus proche de l'étoile où passent les rayons de lumière en provenance du sujet, qui arrivent sur le capteur. of est supérieur au rayon de l'étoile et croît proportionnellement à la racine carré de la distance focale df.
sf est la surface de capture de la lumière en provenance du sujet. Elle est proportionnelle à of et à lc. par exemple si lc est d'un centimètre et of un million de kilomètres, l'imageur gravitationnel captera la lumière en provenance d'une bande d'un centimètre de large sur 2p multiplié par un million de kilomètres de long, soit une surface de 62,8 kilomètres carrés.
On cherche à observer un système planétaire comparable au nôtre situé au centre de nôtre galaxie à une distance de 30.000 A.L. Pour cela il nous faut une résolution minimale de 0,000 1 seconde d'arc pour pouvoir la différencier de son étoile. la magnitude de la planète qui nous intéresse est de 45
On utilise comme lentille gravitationnelle une étoile d'une masse solaire située à 100 A.L. de nous. Cette étoile forme un angle de 2 secondes d'arc avec l'étoile du système à observer.
On utilise un imageur gravitationnel dont le sélecteur a un rayon de couronne rsel de 50 mètres, et une largeur de couronne lc d'un centimètre.
Calculons d'abord la distance que doit parcourir l'imageur gravitationnel pour se positionner dt. Cette distance est de 0,31 · 2 · 100 soit 62 U.A. Cette distance est importante mais a déjà été atteinte à ce jour.
La résolution rea est de 3,2 · 10 -4 0,1 · 1 · 10 / 50 soit 0,000 006 4 secondes d'arc, un résultat largement suffisant.
La distance of est de 7,4 · 10 6 · 10 · 1 soit 74.000.000 de kilomètres et la surface de capture est de 2p · 74 · 10 soit 4647 kilomètres carrés, une surface équivalente à celle d'un miroir de
Le temps de pause pour un rendement de 0,2 et une longueur d'onde de 0,5 micron est de (1,9 · 10 16 · 2,5 -45 · 4647 · 0,5 · 0,2) -1 soit 0, 09 seconde.
La distance entre le sélecteur et le capteur dsc est de 9,5 · 10 9 · 100 · 50 / 74.000.000 soit 642.000 km
Le temps de pause obtenu est de 0,09 seconde dans le cas d'un objet ponctuel. Notre sujet d'observation a un diamètre d'environ 12000 km ce qui provoque une augmentation du temps de pause nécessaire à plusieurs minutes dans des conditions réelle. Ce temps de pause peut encore être augmenté en présence de poussières qui pourraient absorber une partie plus ou moins importante de la lumière en provenance du sujet. Cette poussière pourrait également émettre de la lumière parasite, mais il est intéressant de constater que l'imageur gravitationnel amplifie principalement la lumière en provenance du voisinage du sujet.
La figure ci-dessous montre une simulation approximative des résultats qu'on pourrait obtenir en observant notre système solaire dans des conditions décrites dans l'exemple ci-dessus. On voit les distorsions de formes allongées à partir du point image central et une très forte dégradation de la luminosité au fur et à mesure qu'on s'éloigne de celui-ci.
Le point bleu claire représente la terre, juste à coté la lune, en bleu foncé vénus, en rouge foncé mercure et en jaune claire le soleil.
Dans l'exemple ci-dessus on voit que la résolution est nettement inférieure au diamètre de la planète. Dans ce cas là, il est possible de l'augmenter (théoriquement jusqu'à quelques mètres) à l'aide d'un programme informatique. La technique utilisable est assez complexe, elle est basée sur le calcul statistique et je ne la développerai pas sur ces pages dans l'immédiat (ça représenterait une formidable quantité de travail). Disons simplement que pour obtenir une image de la planète avec une résolution de n points images il faudrait multiplier le temps de pause par n². Par exemple pour avoir une image d'une résolution de dix lignes (1200 km dans notre exemple) soit cent points images, il faudrait multiplier le temps de pause par dix mille. Dans la pratique cette technique est donc rapidement limitée par le temps de pause qui augmente très rapidement au fur et à mesure qu'on cherche à augmenter la résolution.
Ces formules sont destinées à évaluer la sensibilité de l'imageur gravitationnel dans le domaine radio lors d'une utilisation annexe qui consiste à placer une antenne au foyer de la parabole formée par le sélecteur (voir la page réalisation technique). L'idée d'associer une antenne à une lentille gravitationnelle n'est pas nouvelle et sort du cadre de l'invention, mais il s'agit d'une utilisation annexe de l'imageur gravitationnel facile à mettre en œuvre qui peut présenter un intérêt complémentaire.
T est la température du préamplificateur utilisé pour amplifier le signal, en degrés Kelvin (généralement trois degrés).
l
est la longueur d'onde du signal en mètres.D est le diamètre du réflecteur parabolique en mètres. Si on place simplement un dipôle sans réflecteur, D = l / 2.
df est la distance focale en A.L.
do est la distance entre la lentille gravitationnelle et le sujet en A.L.
of voir plus haut.
PW est la puissance nécessaire de l'émetteur que l'on cherche à capter pour un rapport signal sur bruit de dix db, PW est exprimé en watts.
bp est la bande passante du signal à capter. Si on cherche à détecter simplement la fréquence porteuse de l'émetteur alors bp doit couvrir la stabilité de l'émetteur. bp est exprimé en Hz. La limite inférieure de bp est limitée du fait de l'effet Dopler due à la rotation de la planète sur laquelle est situé l'émetteur (cette limite peut aller de 0,001Hz en grandes ondes à plusieurs Hz en UHF, elle est plus réduite au voisinage des pôles et peut éventuellement être corrigée par un programme informatique). .
S est l'atténuation du signal à capter lorsque l'émetteur s'éloigne de la position idéale, S est exprimé en db (S représente donc la capacité à pouvoir distinguer deux émetteurs émettant sur la même fréquence, situés à des endroits différents). Valable lorsque dec / D-3db > 1.
dec est la distance entre la position de l'émetteur et la position idéale, exprimé en kilomètres.
D-3db est la distance entre la position idéale et la position réelle de l'émetteur pour laquelle le signal est atténué de 3db, exprimée en kilomètres. Cette distance représente la précision avec laquelle on peut déterminer la position de l'émetteur.
PW = 108 · bp · T · do2 · of -1· D-1
S = 10 · log10 · (dec / D-3db)
D-3db = 10-3 D · do / df
Il est intéressant de constater que la sensibilité de réception du signal croît proportionnellement à D et non pas à D2 comme c'est le cas habituellement.
Dans l'exemple cité plus haut on pourrait détecter un hypothétique émetteur d'une puissance de 36 KW avec une bande passante de 0,001 Hz et une température d'amplificateur de 3K, pour une longueur d'onde inférieure à 200 mètres. Sa position peut être déterminée avec une erreur de seulement
